algorithme de Bombelli

ANALYSE
CALCUL

Développement en fraction continue de la racine carrée de 2, basée en fait sur ce que la racine carrée de 2 est solution de l’équation x=1 +1/(1+x).
Cet algorithme est dû au mathématicien italien de la Renaissance Bombelli .

Description de la méthode par Bombelli lui-même.
« Admettons d’abord que, si nous voulons trouver une racine approximative de 13, celle-ci sera 3 et le reste 4. Ce reste doit être divisé par 6 (le double du 3 donné avant) ce qui donne 2/3. C’est la première fraction qui doit être ajoutée au 3, faisant 3 2/3 qui est la racine approchée de 13. Comme le carré de ce nombre est 13 4/9, c’est trop grand de 4/9. Si quelqu’un veut une meilleure approximation, le 6, qui est le double du 3, doit être ajouté à la fraction 2/3 donnant 6 2/3. Avec ce nombre on doit diviser 4, qui est la différence entre 9 et 13. Le résultat est 3/5 qui, ajouté à 3 fait 3 3/5. C’est une meilleure approximation de la racine carrée de 13 parce que son carré est 12 24/25, qui est plus proche que celui de 3 2/3.
Mais si je veux une meilleure approximation, j’ajoute cette fraction au 6, faisant 6 3/5, divisant 4 par cela et obtenant 20/33. Ceci doit être ajouté au 3 comme précédemment, faisant 3 20/33. C’est une meilleure approximation parce que son carré est 13 4/1089 qui est trop grand de 4/1089. »