quartile

STATISTIQUES

On considère une série statistique de n données quantitatives x_i ordonnées par valeurs croissantes. L’indice i varie de 1 à n, c’est le rang de la donnée xi.
Les quartiles Q1, Q2, Q3 de cette série sont des valeurs qui la séparent en quatre sous séries d’effectifs égaux (en gros 25% des données). En fonction des valeurs de n, diverses interprétations ont encore cours, selon que l’on inclut ou non les quartiles dans les sous séries obtenues quand ils coïncident avec des données. Cela conduit à donner aux quartiles des valeurs différentes suivant les auteurs ou les moyens de calcul. Pour de vastes populations, ces distinctions sont en général peu pertinentes.
Nous adoptons ici la définition mise en œuvre dans le tableur Excel, utilisant la notion de rang généralisé. Cette définition s’étend à tous les fractiles.
Soit R un réel de [1;n[ et r=Ent(R). La valeur xR est la valeur obtenue par interpolation entre les données x_r et x_r+1, proportionnellement à la partie décimale de R (Dec(R)=(R-r)). On a donc x_R=x_r+Dec(R)(x_r+1-x_r). R est le rang généralisé de la valeur x_R.
Les quartiles de la série statistique sont les valeurs de rangs généralisés 1+(n-1)/4, 1+2(n-1)/4, 1+3(n-1)/4:
R(Q₁)=(n+3)/4 , d’où Q₁=x_Ent(n+3)/4+Dec((n+3)/4).[x_{Ent((n+3)/4+1)}-x_Ent((n+3)/4)];
R(Q₂)= , d’où Q₂=x_Ent((n+1)/2+Dec((n+1/2)).[(x_{Ent(n+1)/2+1)}-x_Ent(n+1)/2)] ; Q₂ est donc la médiane de la série donnée ;
Q₃=(3n+1)/4, d’où Q₃=x_{Ent((3n+1)/4)}+Dec((3n+1)/4).[(x_{Ent((3n+1)/4+1)}+1-x_{Ent((3n+1)/4)})].
Si on inverse l’ordre de la série avec le changement d’indices j=n+1-i, ; Q₁ et Q₃ s’échangent, car n+1-(n+3)/4=(3n+1)/4, ainsi le troisième quartile de la série ordonnée croissante est le premier quartile de la série ordonnée décroissante et réciproquement ; Qx₂ est invariant, car n+1-(n+1)/2=(n+1)/2, la médiane ne change pas, quel que soit l’ordre dans lequel on range la série.

[Qx₁;Qx₃] est l’intervalle interquartile, sur lequel est construit le diagrammes en boîte (ou boîte à moustaches ) utile pour la comparaison de séries statistiques et Qx₃-Qx₁ est l’écart interquartile, utilisé comme indice élémentaire de dispersion.