nombre de Mersenne
ANALYSE
ARITHMETIQUE
Les nombres de Mersenne, du nom du mathématicien français Mersenne , sont les entiers naturels de la forme Mn = 2n-1, où n est un nombre premier.
Malgré sa formulation simple (comme souvent en arithmétique), la question de savoir si ces nombres sont, ou non, premiers s’est avérée complexe. Le test de Lucas-Lehmer permet de savoir si un nombre de Mersenne est un nombre premier.
Le nom de Mersenne leur est attaché bien qu’ils aient intéressé de nombreux mathématiciens. On peut citer : Hudalricus Regius, Pietro Cataldi (1603 ), Fermat (1640), Euler (1750), Lucas (1876), Pervouchine (1883), Powers au début des années 1900.
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127.
On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.
Le 39e, connu depuis 2001, correspond à n=6 972 593 et il a 4 053 946 chiffres !
Depuis août 2008 on en connaît 46.
A suivre.
Si certains résultats ont été établis, il reste de nombreux problèmes ouverts :
On ne sait pas actuellement prouver que :
les nombres de Mersenne premiers sont en nombre infini,
les nombres de Mersenne composés, ayant un exposant premier, sont en nombre infini.