paradoxe de Richard

antinomie de Richard

FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

Ce paradoxe, ou antinomie, doit son nom au mathématicien français Jules Antoine Richard (1862-1956).
Dans une lettre, publiée dans le numéro du 30 juin 1905 de la Revue générale des Sciences, il propose une antinomie de la théorie générale des ensembles obtenue sans « aller jusqu’à la théorie des nombres ordinaux ».
Richard définit l’ensemble de tous les arrangements avec répétition des lettres de l’alphabet ordonnés alphabétiquement ; puis il considère le sous-ensemble E des arrangements qui sont des définitions de nombres.
On a ainsi, rangés dans un ordre déterminé, tous les nombres définis à l’aide d’un nombre fini de mots.
Donc : Tous les nombres qu’on peut définir à l’aide d’un nombre fini de mots forment un ensemble dénombrable. [Richard 1905, p. 541]
Il obtient alors une contradiction en définissant un nombre défini par un nombre fini de mots (formant un arrangement G) dont on peut montrer qu’il n’appartient pas à cet ensemble.
Exemple : on considère les entiers que l’on peut définir par une phrase en français, contenant moins de 20 mots. Il existe un ensemble fini de telles phrases, donc un ensemble fini de tels nombres. « Soit n le plus petit entier non définissable par une phrase de 20 mots ». Or, on vient juste de le définir par une phrase de moins de 20 mots. D’où le paradoxe…

Richard montre que cette contradiction n’est en fait qu’apparente. En effet, la définition du nombre qu’il propose, nécessite la connaissance de E ; comme E est défini par un nombre infini de mots, le nombre de Richard n’appartient pas à E.
Revenons à nos arrangements. Le groupe de lettres G est un de ces arrangements ; il existera dans mon tableau. Mais, à la place qu’il occupe, il n’a pas de sens. Il y est question de l’ensemble E, et celui-ci n’est pas encore défini. Je devrai donc le biffer. Le groupe G n’a de sens que si l’ensemble E est totalement défini, et celui-ci ne l’est que par un nombre infini de mots. Il n’y a donc pas de contradiction.