théorème de clôture de Poncelet

GEOMETRIE

Théorème de géométrie projective , énoncé par Poncelet en 1822 dans son Traité sur les propriétés projectives des figures.

Soient C et C’ deux coniques . Un polygone de Poncelet P est un polygone de n côtés inscrit dans C et circonscrit à C’, donc les côtés L₀, L₁, .L_n-1 sont tangents à C’, et les sommets A₀, A₁, .A_n-1 sont sur C. S’il existe un tel polygone P inscrit dans C et circonscrit à D, alors pour tout point M sur C il existe un polygone de Poncelet qui a M pour l’un de ses sommets.
Ou dit autrement : s’il existe une ligne polygonale dont chaque sommet est sur C et dont chaque côté est tangent à C’ et si cette ligne se referme au bout d’un n-ième côté, alors toute autre ligne polygonale respectant les mêmes conditions se refermera au bout du n-ième côté.
Cette propriété de clôture de la construction ne dépend donc pas du point de départ, mais seulement des deux coniques.

Poncelet énonce la même propriété dans une configuration encore plus générale, où les côtés du polygone inscrit dans la conique C sont tangents à des coniques quelconques d’un faisceau auquel appartient C.

Ce théorème est dû à Jean-Victor Poncelet, mathématicien, ingénieur et général français (1788-1867) qui est considéré comme un des fondateur de la géométrie projective.