théorème de Thabit Ibn Qurra

ARITHMETIQUE

Thabit Ibn Qurra est un mathématicien arabe du 9e siècle. Il a apporté d’importantes contributions sur plusieurs sujets.

Développant les travaux de Pythagore sur les nombres amiables , Thabit Ibn Qurra a démontré ce qui suit :
Si a = 3 × 2ⁿ – 1, b = 3 × 2^n-1 – 1 et c = 9 × 2^2n-1 – 1 sont premiers, avec n entier naturel plus grand que l’unité, alors 2ⁿ × a × b et 2ⁿ × c sont amiables.

Par exemple, si n = 2, alors a = 11, b = 5 et c = 71. Les trois nombres sont premiers. Les deux nombres amicaux sont 2² × 11 × 5 = 220 et 2² × 71 = 284.

Cette condition est nécessaire mais pas suffisante (voir aussi la notice nombres amicaux)