formule de Legendre

ANALYSE
ARITHMETIQUE

π(x) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Legendre en 1808 trouve la formule qui porte son nom :

π (x) – π( √x) = -1 + ∑_d μ(d).x/d
où la somme est étendue à tous les diviseurs d du produit p₁ , p₂.p_n, p₁ ..p_n.désignant les nombres premiers inférieurs ou égaux à√x.
μ(k) est la fonction de Moebius . Elle vaut 0 si k est divisible par le carré d’un entier, et (-1) ^r si k s’écrit comme le produit de nombres premiers distincts.
De cette formule Legendre déduisit que lim_∞ π(x) /x = 0