abscisse curviligne

GEOMETRIE

En géométrie différentielle, l’abscisse curviligne est l’analogue sur une courbe de l’abscisse sur une droite orientée.

L’abscisse curviligne est un moyen de reparamétrer un arc par sa longueur. On fixe (I,f) un arc paramétré orienté de classe C¹.
Définition : On appelle abscisse curviligne de (I,f) toute application s de I dans R telle que, si t₁ et t₂ sont deux éléments de I vérifiant t₁< t₂, alors s(t₂)-s(t₁) est la longueur de l’arc ([t₁,t₂],f).
En croisant cette définition avec les méthodes pratiques de calcul de la longueur d’un arc paramétré, on obtient la proposition suivante :
Les abscisses curvilignes de l’arc orienté (I,f) sont exactement les primitives de la fonction ΙΙf ‘(t)ΙΙ