nombre ordinal

ARITHMETIQUE
FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES

1 – A un niveau élémentaire où on ne s’intéresse qu’à des collections finies d’objets, le nombre ordinal indique le rang de l’objet dans la collection, ce qui est une restriction aux ensembles finis de la définition ci-après.

2 – La notion d’ordinal est une extension de la notion de nombre entier naturel.
Considérons l’ensemble E = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
L’appartenance a deux propriétés dans cet ensemble :
• c’est une relation de bon ordre (relation d’ordre telle que toute partie non vide possède un plus petit élément)
• tout élément de E est une partie de E (ainsi {∅, {∅}}∈E et {∅, {∅}}⊂ E)

On appelle ordinal tout ensemble α qui a ces propriétés : l’appartenance est un bon ordre dans α et tout élément de α est une partie de α (on dit que α est transitif).
L’ordre entre deux ordinaux α et β est défini par α≤βsi et seulement si α ⊂ β
Pour deux ordinaux α et β distincts, on a α ∈ β ou β ∈ α . De plus tout ensemble formé d’ordinaux est bien ordonné.
Les ordinaux de ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . sont respectivement 0, 1, 2, 3, .
Pour tout ordinal α, l’ensemble α ∪ {α} est le plus petit ordinal strictement supérieur à α. Il est noté α+1, on l’appelle successeur de α.
Les ordinaux non vides qui ne sont pas des successeurs sont dits ordinaux limites (exemple : le plus petit ordinal infini).
Pour chaque ensemble bien ordonné E, il existe un isomorphisme et un seul d’ensembles ordonnés de E sur un ordinal dit ordinal de E.

Source : dictionnaire des mathématiques Alain Bouvier, Michel George, François Le Lionnais.