problème de Fagnano

théorème de Fagnano
problème du triangle de Schwarz

GEOMETRIE

Propriété en géométrie du triangle.
Le problème de Fagnano, appelé aussi problème du triangle de Schwarz , est le problème d’optimisation suivant : « inscrire un triangle de périmètre minimal dans un triangle acutangle donné ».
La solution est qu’il existe un unique triangle de périmètre minimum, appelé triangle orthique , dont les sommets sont les pieds de hauteurs du triangle donné. Les hauteurs et les côtés du triangle donné sont les bissectrices intérieures et extérieures de son triangle orthique.

Cas d’un triangle ABC dont l’angle A est obtus.
Soient M, N, P trois points situés respectivement sur les segments [BC], [CA], [AB]. Le périmètre du triangle MNP est minimal lorsque l’on a N = P = A et lorsque M est le pied H de la hauteur issue de A.

Giulio Fagnano (mathématicien italien 1682 – 1766) ainsi que son fils Giovanni (1715 – 1797) ont travaillé sur les nombres complexes et la géométrie du triangle. Giulio Fagnano a démontré des résultats intéressant les lemniscates et les intégrales elliptiques.
La formule de Fagnano relie π et i :
π = 2i Log((1-i)/(1+i))