critère d’Eisenstein

ALGEBRE

Considérons un polynôme P à coefficients entiers, que l’on note
P=anXⁿ + an-1X^n-1 +… + a1X + a0.
S’il existe un nombre premier p qui divise tous les ai sauf an, et tel que p² ne divise pas a0, alors P est irréductible dans Q[X], l’ensemble des polynômes à coefficients rationnels.

Si de plus P est primitif (c’est-à-dire que le pgcd de ses coefficients vaut 1), alors P est irréductible dans Z[X], l’ensemble des polynômes à coefficients entiers.
Ce théorème reste valable si on remplace Z par n’importe quel anneau factoriel et Q par le corps des fractions de cet anneau.
Hilbert donnera (1892) une extension de ce critère pour des polynômes à plusieurs variables.