spirale d’or

spirale dorée

GEOMETRIE

La spirale d’or est construite dans un rectangle ABCD dont les côtés ont pour longueur 1 pour AB et le nombre d’or pour BC. (φ = 1+ √ 5 / 2)
On construit le carré ABA’D’, on trace le quart de cercle AA’ de centre D’.
On réitère la construction dans le rectangle A’CDD’ et ainsi de suite.
La spirale est constituée des quarts de cercles inscrits dans les carrés successifs.

Les diagonales BD et CD’ ainsi que toutes les suivantes se coupent en un point O qui est le point asymptote de la spirale.
La spirale d’or est invariante par similitude de centre O, de rapport φ (le nombre d’or) et d’angle π /2. Elle est graphiquement voisine d’une spirale logarithmique (qui possède également la propriété d’invariance).

Une construction analogue à partir d’un rectangle dont les côtés sont deux nombres de Fibonacci consécutifs permet de construire la spirale de Fibonacci, graphiquement voisine mais qui ne possède pas la propriété d’invariance par similitude.

Une construction analogue à partir d’un triangle d’or (isocèle dont le rapport entre le grand côté et la base est le nombre d’or, l’angle au sommet est alors pi/5) conduit à la spirale d’or triangulaire.