espace métrique connexe

ANALYSE

L’espace métrique (X,d) est connexe s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes.

1. Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X.
2. Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l’un de ces deux fermés est vide et l’autre égale à X.
3. Si l’on considère {0,1} muni de la topologie discrète et f : X → {0,1} une application continue , alors f est constante sur X.
4. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui même et l’ensemble vide.