compactifié d’Alexandrov

ANALYSE

Soit X un espace topologique séparé localement compact . On appelle compactifié de X un espace X’ compact dont X est un sous-ensemble dense. Un des procédés est le compactifié d’Alexandrov (ou Alexandroff), dû au mathématicien russe Pavel Alexandrov (1896-1982).

Le compactifié est le couple (X’, f) tel que :
1) X’ est compact
2) F est un homéomorphisme de X sur le complémentaire d’un point ω de X’
3) si (Y, g) est est un autre couple vérifiant 1) et 2) il existe un homéomorphisme et un seul σ : X’ → Y tel que g = σ ° f

On dit que ω est le point à l’infini de X’ et que X’ est obtenu par adjonction à X d’un point à l’infini.
Le compactifié d’Alexandrov de R² (ou de C) est la sphère de R³ d’équation x²+y²+z²=1 (appelée sphère de Riemann ).
L’homéomorphisme de R² dans cette sphère est la projection stéréographique.
(Source : dictionnaire des mathématiques A. Bouvier, M. George, F. Le Lionnais)