convexité d’une fonction
fonction convexe
ANALYSE
Soit f une fonction numérique définie sur une intervalle I et continue dans l’intérieur de I, c’est une fonction convexe si pour tous a et b de I, le courbe est en dessous de la corde [AB].
L’exemple le plus simple est la fonction x → x2 , ou encore la fonction exponentielle. On dit aussi que la concavité est tournée vers le haut.
Plus formellement, pour tous éléments x et y de I et pour tout t de [0,1],
f(tx+(1-t)y) ≤ tf(x)+(1-t)f(y).
Les fonctions convexes ont des propriétés de continuité et de dérivabilité qui permettent d’étudier simplement des recherches d’extrema.
Une fonction est concave sur I si et seulement si -f est convexe.
Propriétés : si f est dérivable, elle est convexe (resp. concave) si et seulement si f’ est croissante (resp. décroissante) sur I.
Si f est deux fois dérivable, elle est convexe (resp. concave) si et seulement si f » est positive (resp. négative) sur I.