suite de Goodstein

théorème de Goodstein

ANALYSE

La définition de la suite de Goostein utilise la notation héréditaire (ou notation itérée) d’un nombre naturel en base n.
On obtient cette notation de la façon suivante : on écrit le nombre sous la forme akn^k + ak-1n^k-1 + + a0
où les ai sont compris entre 0 et n-1. Puis on fait de même pour les exposants, jusqu’à obtenir uniquement des nombres compris entre 0 et n-1.
Exemple, 35 s’écrit en base 2 : 2⁵ + 2 + 1 et en notation héréditaire en base 2 : 2²² + 2²⁰ +2⁰.

La suite de Goostein G(m) d’un nombre m est construite de la façons suivante :
* le premier terme est m,
* pour obtenir le deuxième terme, on écrit m en notation héréditaire en base 2, puis on change 2 en 3 et on retranche 1,

* pour obtenir le troisième terme, on écrit le deuxième terme en notation héréditaire en base 3, puis on change 3 en 4, et on retranche 1,

* et ainsi de suite.

Le théorème de Goostein énonce que la suite se termine toujours par 0.
Cette suite est liée à l’arithmétique ordinale et au paradoxe de Burali-Forti .