suite de Cauchy

ANALYSE

La notion de suite de Cauchy est liée à celle de convergence d’une suite.
La notion de suite de Cauchy est une notion métrique et non topologique. Même si deux métriques définissent la même topologie, les suites de Cauchy peuvent ne pas être les mêmes pour les deux métriques.

1 -Dans R ou dans C
Une suite de réels ou de complexes (rn) est dite de Cauchy lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l’infini au sens où : limn → ∞ supp, q>nΙ rp – rqΙ = 0.
Ce qui s’écrit aussi :
(∀ ε > 0)(∃ n ∈ N)((∀ p, q >n) (Ι rp – rqΙ < ε ) Critère de Cauchy dans R ou dans C : Une suite de nombres réels (respectivement complexes) converge dans R (respectivement C) si et seulement si c’est une suite de Cauchy.
Remarque : le critère de Cauchy permet de savoir si une suite est convergente sans connaître la limite
.

2 – Dans un espace métrique :
Une suite (xn) dans un espace métrique (E,d) est une suite de Cauchy si pour tout réel ε > 0, il existe un entier naturel n tel que pour tous entiers p, q ≥ n, la distance d(xp,xq) soit inférieure à ε :
(∀ ε > 0)(∃ n ∈ N)((∀ p, q >n) (d(rp, xq) < ε )
.Propriété : Dans un espace métrique, toute suite convergente est de Cauchy.
On appelle espace complet un espace où toute suite de Cauchy est convergente (exemple les espaces de Banach , dont R et C).