théorème de Pappus

GEOMETRIE

Théorème étudié par Pappus et qui préfigure la géométrie projective .
Enoncé : Soient D et D’ deux droites distinctes d’un plan P, soient A1, A2, A3 trois points distincts sur D, et B1, B2, B3 trois points distincts sur D’ (et distincts de A1, A2, A3). Alors les points C1, C2 et C3, intersections respectives des droites (A2B3) et (A3B2), (A3B1) et (A1B3), (A1B2) et (A2B1) sont alignés.
Cet énoncé peut être pris comme axiome en géométrie projective.
La droite contenant les points C1,C2, C3 est la droite de Pappus .
L’ensemble des 9 points A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 est la configuration de Pappus .
Ce théorème étant un théorème de géométrie projective, les points peuvent être propres ou impropres.
Les droites D et D’ peuvent être considérées comme une conique dégénérée, et donc pour l’hexagramme A1A2A3B1B2B3 on a l’alignement de C1C2C3, c’est le théorème de Pappus-Pascal .
Un autre énoncé, souvent appelé théorème de Pappus faible, est le suivant :
Soient D et D’ deux droites du plan, distinctes. Soient A, B et C trois points de D, et A’, B’ et C’ trois points de D’. Si AB’ est parallèle à BA’, et si CB’ est parallèle à BC’, alors AC’ est parallèle à CA’ (voir http://www-math.sp2mi.univ-poitiers.fr/~ducos/Travaux/exosTDTP.pdf )