fonction logarithme complexe

ANALYSE

Une « fonction » logarithme complexe peut être définie de de deux manières :
1) A partir d’une équation différentielle
le logarithme est une solution de la fonction inverse : c’est une solution de l’équation différentielle :
z Φ ‘(z) =1

En fait, on peut définir un logarithme complexe comme une solution holomorphe de cette équation.On rattache la question du logarithme complexe à celle plus générales des équations différentielles holomorphes.

2)A partir des exponentielles complexes.

e^z = Σ _{n ∈ N}zⁿ/n!
On définit alors un logarithme complexe α d’un nombre complexe Α comme une solution de l’équation : e^α = A.
e⁰ = 1 mais aussi e^2kiπ=0 où k est un entier ; d’où log (2ikπ) = 0 et on peut donc définir plusieurs « fonctions » logarithmes où les images différeraient de 2ikπ.
Deux théorèmes donnent de la cohérence a cette notion :
1) le théorème d’unicité : sur tout ouvert connexe s’il existe une détermination continue du logarithme complexe elle est unique à une constante de la forme 2ikπ.
2) Sur tout ouvert connexe contenant une courbe d’indice 1 autour de l’origine il n’existe pas de détermination continue du logarithme. Ce théorème est lié au fait suivant : soit un complexe z = e ^it parcourant le cercle unité log z = t alors au bout d’un tour complet log z = t + 2iπ.
Une fonction logarithme complexe Φ ayant été choisie on définit la fonction argument par arg(z) = -i(Φ(z) -ln|z|).