nombre de Liouville

ANALYSE

Les nombres de Liouville sont, historiquement, les premiers nombres transcendants connus.

Un nombre de Liouville est un nombre réel x ayant la proprité suivante :
pour tout nombre entier positif n, il existe un rationnel p/q tel que
0 < |x – p/q| < 1/qⁿ.
En 1844, Joseph Liouville montre que tous les nombres vérifiant cette propriété sont transcendants .

Autre définition : On appelle nombre de Liouville tout nombre réel du type :
∑k = 1^{+ ∞} (ak /10^{k !})
où (ak)k ≥ 1 est une suite d’éléments
de {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} qui ne converge pas vers 0.

On appelle constante de Liouville le réel défini par :
c = ∑k = 1^{+ ∞} 10^{– k !}.
C’est un nombre de Liouville et le premier exemple de nombre réel dont Liouville a prouvé la transcendance.
Paul Erdős a démontré que tout nombre réel pouvait s’écrire comme somme et comme produit de deux nombres de Liouville.