série de Grandi
ANALYSE
La somme S = 1-1+1-1+1.= ∑n=0∞ (-1)n
est appelée série de Grandi , du nom du mathématicien qui l’a étudiée en 1703.
Cette série est divergente (la somme des n premiers termes est alternativement égale à 0 et à 1), mais au sens de la convergence de Cesaro (limite de la suite obtenue en effectuant la moyenne arithmétique des n premiers termes de la suite) la limite vaut 1/2.
Si on traite la série de Grandi comme une somme télescopique , suivant le parenthésage choisi on obtient des valeurs différentes :
S = (1-1)+(1-1)+. = 0
S = 1+(-1+1)+(-1+1)+. = 1
Quant à la convergence au sens de Cesaro elle donne comme valeur 1/2.
Ce n’est qu’au 19e siècle que des concepts mathématiques bien définis et rigoureux ont pu venir à bout de telles controverses.