théorème de Nagell-Lutz

GEOMETRIE

Ce théorème est un résultat de géométrie diophantienne (branche de la théorie des nombres qui utilise des outils de géométrie algébrique pour résoudre des problèmes arithmétiques) sur des courbes elliptiques.

Enoncé : Supposons que la courbe cubique C à coefficients entiers a, b, c définie par

y²=x³+ax²+bx+c=f(x) est non singulière.

Soit P = (x, y) un point rationnel de C, d’ordre fini pour la loi de groupe, alors x et y sont entiers. De plus, ou bien y = 0 (dans ce cas P est d’ordre 2), ou bien y² divise le discriminant D du polynôme cubique f

D = -4 a³c + a²b² + 18abc – 4b³ – 27c².

Ce théorème, publié en 1935, (qui ne doit pas être confondu avec le théorème de Nagel ou le point de Nagel ) est dû indépendamment au mathématicien norvégien Trygve Nagell et à la mathématicienne française Elisabeth Lutz.