gnomon – géométrie –

GEOMETRIE
HISTOIRE DES SCIENCES

On attribue à Héron d’Alexandrie la définition suivante : le gnomon est la chose qui, ajoutée à quelque chose d’autre, figure ou nombre, forme un tout semblable à la chose à laquelle elle a été ajoutée
( http://accromath.uqam.ca/2010/06/pythagore/ ).
De façon plus formelle on peut définir le gnomon en géométrie euclidienne ainsi : une figure W est gnomon de V pour traduire qu’existe une similitude de W ∪ V vers V de rapport λ avec 0 < λ < 1
( http://numerisation.univ-irem.fr/AAA/AAA10014/AAA10014.pdf ).
Le gnomon d’un parallélogramme est la figure formée de trois parallélogrammes (chacun de même dimension que le parallélogramme initial) qui permet d’obtenir un autre parallélogramme ; semblable au parallélogramme initial
( http://www.debart.fr/pdf_dp/euclide.pdf ).
Le gnomon d’un carré de côté 1 est donc une figure en forme d’équerre formée de 3 carrés de côté 1 qui permet de créer un carré de côté 2. Le gnomon à ajouter pour avoir un carré de côté 3 est formé de 5 petits carrés. Et ainsi de suite, les gnomons successifs donnent la suite des nombres impairs et on montre ainsi géométriquement que la somme des n premiers impairs est n²
(https://mathsmagiques.fr/pages/truc_mat/textes/gnomon.htm)
En ce qui concerne le triangle équilatéral, on obtient la même chose à ceci près que la forme du gnomon n’est pas la même. Le carré et le triangle équilatéral sont les seuls polygones réguliers qui ont un gnomon.
Le gnomon en géométrie est très lié aux nombres figurés de Pythagore .
Ces représentations géométriques sont aussi très liées à des calculs algébriques comme l’extraction de racine carrée.

Cette notion s’étend également aux dimensions supérieures.
Par exemple en dimension 3, le gnomon d’un cube est ce qu’il faut ajouter au cube de côté n pour obtenir le cube de côté (n+1). Le terme général de cette suite est (3n²-3n+1)