problème des treize boules

théorème de van der Waerden et Schütte
théorème de Schütte et van der Waerden

COMBINATOIRE
GEOMETRIE

Le problème des treize boules (ou des treize sphères) est un des points de vue pour aborder le problème de l’empilement optimal des sphères (de même rayon, dans l’espace de dimension 3) ou encore la densité maximale de boules de même rayon dans une boîte (suffisamment grande pour négliger les effets de bord).
Kepler avait conjecturé en 1611 que l’empilement optimal des sphères est un réseau cubique à faces centrées .

En 1694 une polémique opposa Newton à David Gregory . Newton pensait qu’on ne peut entourer une sphère que de 12 sphères tangentes (de même rayon) alors que Gregory pensait qu’il pouvait y en avoir 13. C’est cette alternative qui est appelée le problème des 13 sphères. En 1953 la question est résolue par Schütte et Van der Waerden qui donnent raison à Newton.
Finalement cela amène au réseau cubique à faces centrées et à la conjecture de Kepler.
Schütte et Van der Waerden ont aussi montré (sur un exemple) qu’en augmentant légèrement le rayon de la sphère centrale on pouvait trouver 13 sphères tangentes.