paradoxe de Patarin

PROBABILITES

Selon ce paradoxe, prendre simultanément plusieurs paris favorables peut conduire à un pari défavorable.
Dans le cas d’un nombre fini de paris, chacun étant d’espérance mathématique strictement positive, accepter plusieurs (par exemple 3) paris conduit à un pari favorable. Mais il n’en est pas de même pour une infinité de paris.

En voici une illustration donnée par Jean-Paul Delahaye :
Pour tout nombre x compris entre 0 et 1, on considère le pari suivant :
On choisit un nombre y compris entre 0 et 1 par un procédé de tirage uniforme (tel qu’un lancer de fléchette)
• Si y = 3/4 x, je perds 1 euro
• Si y = 3/4 + x/8 ou si y = 7/8 + x/8 je gagne 1 euro
• Dans les autres cas personne ne perd ni ne gagne

Chacun des paris p(x) m’est favorable car 3 points sont déterminés entre 0 et 1 dont 2 me font gagner et 1 seul me fait perdre.

Pourtant si je prends tous les paris P(x) (avec x ∈ [0, 1[) le pari est perdant comme le démontre J.-P. Delahaye dans un article de la revue Pour la Science.