classification grecque des constructions géométriques

problème plan
problème de ligne
problème solide
problème grammique
problème sur-solide
constructibilité à la règle et au compas

GEOMETRIE
HISTOIRE DES SCIENCES

Dans l’Antiquité, les Grecs distinguaient trois types de constructions géométriques (cf. Pappus d’Alexandrie, La Collection Mathématique, tome premier, p. 38-39) :

– les problèmes plans qui se résolvaient à la règle et au compas dans le plan, au moyen de droites et de cercles comme tracer un polygone régulier à 15 ou 17 côtés (le premier est résolu dans les Eléments d’Euclide , celui à 17 côtés dans les Disquisitiones Arithmeticae paru en 1801, soit 2000 ans plus tard))

– les problèmes solides faisaient intervenir des sections coniques (paraboles, hyperboles, ellipses) c’est le cas de la trisection de l’angle et la duplication du cube

– les problèmes de ligne (grammiques ou sur-solides) qui requièrent l’introduction d’autres courbes comme la spirale, la quadratrice, la conchoïde ou la cissoïde et étaient généralement associés à un mouvement mécanique plus ou moins sophistiqué

Les Grecs savaient déjà construire des solutions d’équations de degré trois comme intersections de coniques. Ce n’est qu’en 1837 que Wantzel a montré que cela ne pouvait pas être un problème plan.

La quadrature du cercle y est un problème ni plan ni solide, comme cela a été démontré par la transcendance de Pi.