théorème de Mohr-Mascheroni

GEOMETRIE

Le théorème de Mohr-Mascheroni est un théorème de géométrie plane.
Il affirme que si une construction géométrique est possible à la règle et au compas, alors elle est possible au compas seul.

Un point est considéré comme constructible s’il est un point d’intersection de deux cercles dont les centres sont déjà construits et dont les rayons sont connus (comme distances entre des points déjà construits).
Remarque : construire une droite signifie en construire deux points, la règle est donc seulement nécessaire pour tracer effectivement la droite.

Ce théorème a été démontré en 1672 par Georg Mohr et publié dans son ouvrage Euclide Danicus, puis complètement oublié avant d’être à nouveau démontré, 125 ans plus tard, par Lorenzo Mascheroni. Le livre de Georg Mohr a été retrouvé en 1928 par le géomètre danois Johannes Hjelmslev. Le théorème qu’on appelait « théorème de Mascheroni » devient « théorème de Mohr-Mascheroni ».
Lorenzo Mascheroni a démontré en 1797 dans son ouvrage La Geométria del compasso qu’on peut déterminer au compas seul le milieu d’un arc, le milieu d’un segment, et une quatrième proportionnelle, d’où la construction du point d’intersection de deux droites qu’on ramène à la construction d’une quatrième proportionnelle.
Plusieurs mathématiciens se sont intéressés à cette question. En 1890, August Adler propose une nouvelle démonstration utilisant l’inversion. En 1991, Jean-Claude Carrega, dans Théorie des corps, la règle et le compas, démontre qu’il est possible de construire un repère du plan au compas seul grâce à la construction au compas seul de √2.
Une construction connue est celle, au compas seul, du centre d’un cercle donné, appelée problème de Napoléon .