Cet ouvrage est une reproduction du travail de thèse de l’auteur qui analyse les transformations de la rationalité des mathématiques entre le 17e et le 19e siècles. Dans l’histoire de l’analyse, l’algèbre et la géométrie, il interroge le statut théorique que ces savoirs accordaient au visible et au langage : que lisaient les mathématiciens classiques dans une figure de géométrie, dans une courbe, dans un tableau de nombres, dans une combinaison de signes algébriques ? Quelles phrases leur semblaient pertinentes pour décrire ces marques visibles, et pour dire ce qu’ils y voyaient ? Qu’est-ce qui définissait alors la régularité de leurs pratiques ? La première partie conduit une série d’analyses de l’épistème classique, dans la geometrie de Descartes, la querelle des logarithmes, la théorie du développement des fonctions chez Euler, Arbogast et Lagrange, etc.. La seconde découvre dans les transformations des mathématiques au début du 19e siècle le basculement des pouvoirs de représentation du langage, plutôt que le progrès des concepts : dans les géométries de Lazare Carnot, de Poncelet ou de Félix Klein, dans la fonction caractéristique de W. Hamilton, dans la logique de Boole, dans l’analyse de Cauchy, etc.. : autres raisons, autres règles, dont on montre l’unité nouvelle, et la différence qui les sépare de la pensée classique. La derniers partie du travail analyse les conditions de cette archéologie, dans une interrogation critique sur la conception wittgensteinienne des mathématiques (la notion de règle, le général et le particulier, etc.), et sur les concepts de l’archéologie du savoir. Elle parvient à l’idée d’une certaine contingence des mathématiques et, dans la conclusion, à une conception de la vérité qui donne peut-être la clé de tout le travail.

Sommaire :

1. Pascal, des phrases dans un triangle ?
2. L’équation dans l’ordre des choses :
Descartes : la quantité de mouvement.
Newton : force et différence.

3. Figures, séries, calcul.
La géométrie cartésienne.
Logarithme : clore une série.
L’expression infinie : Arbogast.

4. Géométrie et transformation.
Système : Lazare Carnot.
Rapport : Poncelet.
Invariance : Felix Klein et le programme d’Erlangen.

5. Dire les choses ? Physique, Logique.
La machine et le travail des choses.
Hamilton et la fonction caractéristique.
L’algèbre logique de Boole.

6. Analyse : variables, fonction, circuit.
Cauchy.
Puiseux.

7. Méthode et lien de l’histoire.
Les mathématiques et la répétition.
Récits, discours.
Les grands partages.

Conclusion : la dernière limite.