L’origine de cet article est la proposition de N. Rouche dans Faire des mathématiques, le plaisir du sens : « On veut enseigner le plus grand commun diviseur. Il ne faut surtout pas commencer par le définir. Il ne faut pas non plus laisser tâtonner les élèves sur quelques exemples conduisant à la définition. Mais on pourra leur donner un rectangle mesurant 42 sur 98 cm et leur demander de le paver avec des dalles carrées les plus grandes possibles », proposition qui illustre sa conception de « problèmes conduisant à théoriser ».
Or ce problème « paver un rectangle de dimensions données avec des carrés identiques de dimensions maximales » se trouve dans des manuels scolaires d’époques diverses : 1920, 1956, 1978, ainsi que dans un test élaboré par A. Thiébault. De façon intéressante, le texte restait identique dans sa forme, en revanche les dimensions du rectangle et les situations de travail proposées variaient de façon significative : problème, exercice d’application, activité préparatoire et enfin situation d’examen. Cela nous a amené l’auteur de cet article à poser deux questions :
– Pourquoi ce texte perdure-t-il ?
-Les différentes exploitations manifestent-elles des conceptions de l’apprentissage différentes : seraient-elles expressions des « modes » pédagogiques ou didactiques en vigueur à une époque ? Ou bien est-ce le sens lui même accordé à la notion de P.G.C.D. dans l’enseignement des mathématiques qui varie ? Est-il l’outil privilégié de simplification des fractions ? N’est-il qu’une illustration de la théorie de la décomposition des entiers en produit de facteurs premiers ? Est-il lié au concept de commensurabilité ?
L’auteur de cet article vide à montrer que ces choix différents impliquent ou non que la notion de P.G.C.D. prenne sens auprès des élèves, que dans certains cas, sa compréhension véritable ne sera supposée indispensable que quatre à cinq ans plus tard, et ce sont donc ces choix qui, en grande partie, décident des diverses exploitations de cet énoncé.