L’analyse est née d’une création, le calcul infinitésimal, qui à la fin du XVIIe siècle a permis d’apporter des méthodes générales et algorithmiques à de grandes classes de problèmes posées quelques décennies auparavant : problèmes de tangentes, de quadrature, de rectification, de maximis et minimis, de développées, de caustiques, etc.
Le calcul différentiel et intégral a été érigé sur la base de ces calculs infinitésimaux, qui bien que critiqué dans ses fondements s’est imposé grâce à sa prodigieuse fécondité et facilité d’application.
Ces méthodes furent supplantées à la fin du XIXe siècle par celles de l’analyse de Weierstrass liées aux problématiques qui conduisirent aux constructions de R. Il apparut alors évident aux mathématiciens de la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle que les infinitésimaux, ne pouvant que produire des théories contradictoires, avaient à jamais disparu des mathématiques. Or en 1963, un livre de A. Robinson « Non Standard Analysis » leur redonnait vie dans le cadre sophistiqué de la théorie des modèles.
Les concepts de l’analyse classique recevaient alors des formulations et un traitement dans la logique de l’histoire de leur création et d’un grand intérêt au niveau didactique, comme le démontrent un certain nombre d’expériences d’enseignement menées aux Etats-Unis principalement.

Cette brochure esquisse ce que pourrait être un enseignement de l’analyse élémentaire par ces méthodes. Elle comprend également :
1) Une note historique dans laquelle est présentée l’analyse infinitésimale telle qu’elle fut créée à la fin du XVIIe siècle, à travers des textes de Newton, Berkeley, Lagrange, Euler, Carnot, Cauchy, etc. sur l’axiomatique de J. Keisler et sur le théorème de Grégoire Saint-Vincent-Sarraza.
2) Une note sur l’Analyse Non Standard dans laquelle sont présentés les points de vue de A. Robinson et de E. Nelson et de quelques divulgateurs.