Bulletin de l’APMEP. N° 321. p. 751-753. Sur le théorème des fonctions réciproques.

English Title : On the theorem of the inverse function. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Ueber den Satz von der Umkehrfunktion. (ZDM/Mathdi)

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Auteur : Lion Georges

Résumé

L’auteur de cet article mène une réflexion sur le théorème de la bijection relatif aux fonctions numériques définies sur un intervalle.

Abstract

Normally for the existence of the inverse of a real function f its continuity and strict monotonicity is required and thus the relationship between these two characteristics is neglected. This essay shows that, if in addition it is required that f is bijective, the precondition of either continuity or strict monotony is sufficient. For this purpose the following theorem is proved: If f is a function defined as continuous on an interval I the two following statements are equivalent: a) f is continuous and injective in I, b) f is strictly monotone in I and f(I) is an interval. If we therefore suppose that f maps the interval I bijectively onto the interval J and that f is strictly monotone, then according to b) f is also continuous. Vice versa according to a) we conclude that a bijective and monotone function f from I to J is strictly monotone. Further conclusions of the theorem are given. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Als Voraussetzung zur Umkehrbarkeit einer reellen Funktion f wird gemeinhin deren Stetigkeit und strenge Monotonie gefordert, womit der Zusammenhang zwischen diesen beiden Eigenschaften unterschlagen wird. Hier wird gezeigt, dass es unter der zusaetzlichen Voraussetzung, f sei bijektiv, genuegt, Stetigkeit oder strenge Monotonie der Funktion zu verlangen. Dazu wird der Satz bewiesen: Ist f eine auf dem Intervall I definierte Funktion, sind die beiden folgenden Aussagen aequivalent: a) f ist stetig und injektiv in I, b) f ist streng monoton in I und f(I) ist ein Intervall. – Setzt man also voraus, f bilde das Intervall I bijektiv auf das Intervall J ab und f sei streng monoton, ist nach b) f auch stetig. Umgekehrt folgt nach a), dass eine bijektive und stetige Funktion f von I auf J streng monoton ist. – Weitere Folgerungen des Satzes werden genannt. (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Etudes ».

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Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1979 Format A5, p. 751-753
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur Niveau licence, lycée, terminale Âge 17, 18

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier