En reprenant ce titre d’un joli petit livre de V. Tikhomirov (Stories about maxima and minima – A.M.S. 1990) François Rouvière insiste sur l’intérêt des problèmes d’extremum dans l’enseignement mathématique.
Carrefour privilégié entre analyse (dérivées, intégrales), géométrie élémentaire, physique (optique, mécanique,…) et histoire des sciences, ils peuvent servir de thème à des activités variées.
L’exposé est basé sur des exemples, abordés par des méthodes aussi élémentaires que possible, certains utilisables dès le secondaire, les autres dans les deux ou trois premières années d’université (ou en classes préparatoires).
On parle notamment de diverses questions de type « plus court chemin », de leurs liens avec la géométrie, avec des problèmes de billard, d’une approche élémentaire des extremums liés et de quelques problèmes de calcul des variations. On voit qu’on peut étudier les brachistochrones sans recourir à l’équation différentielle d’Euler.