Dans cet article, l’auteur montre comment la géométrie (classique) du triangle et l’optimisation convexe (moderne) font bon ménage. Dans ce qui constitue l’essentiel de son approche, il revisite les points particuliers du triangle, les plus connus du moins, à la seule lumière de l’optimisation. Il montre comment ils sont les solutions uniques de problèmes de minimisation dont les fonctions-objectifs sont définies à partir des distances aux côtés du triangle ou des distances aux sommets du triangle. Les fonctions-objectifs qui entrent en jeu sont toutes convexes, mais certaines sont non différentiables.
Néanmoins, les conditions nécessaires et suffisantes d’optimalité en minimisation convexe sont applicables dans tous les cas, elles conduisent précisément à la caractérisation « variationnelle » des points familiers du triangle : isobarycentre, point de Fermat, point de Lemoine, centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit, orthocentre. Deux autres problèmes d’optimisation liés au triangle complètent cet article.