Ce livre est la version définitive d’une thèse . Il s’appuie sur des manuscrits de Newton édités et traduits dans les dernières décennies.
L’ouvrage porte sur une période décisive pour l’oeuvre mathématique de Newton, alors qu’il n’a pas encore 25 ans, et en analyse les sources, les méthodes et l’originalité. L’utilisation des notations modernes pour l’écriture de toutes les formules facilite grandement la lecture par le mathématicien contemporain.
Après une introduction où il précise comment l’analyse telle que nous l’entendons s’est peu à peu d’Euclide à Descartes dégagée de la géométrie et de l’algèbre, il détaille dans la première partie les premières lectures de Newton : Wallis et sa méthode de quadrature des paraboles et hyperboles généralisées, puis celle du cercle par interpolation d’une matrice ; Descartes et la méthode des tangentes dans sa version originale, puis dans celle de Florimond de Beaune ; Hudde, son théorème (si un polynôme a une racine double, celle-ci est racine du polynôme dérivé) et la règle qui en découle ; Fermat et la méthode des maxima et minima ; Van Schooten qui l’applique à la recherche de la normale ; Van Heuraet et son théorème sur quadratures et rectifications. Il revient ensuite sur les lectures successives que fait Newton du début 1664 à l’été 1665 en les annotant et les résumant de l’Arithmetica infinitorum de Wallis (1656), cherchant des quadratures par leur développement en séries entières. Plusieurs tentatives en vue d’écrire un traité sur quadratures et développements binomiaux sont rapidement interrompues. Le chapitre suivant est consacré à la lecture par Newton de la seconde édition latine de la géométrie de Descartes (1659) : les recherches de l’été 64 sur la sous-normale puis de la normale à la « quantité de courbure » aboutissent le 21 mai 65 à l’algorithme du centre de courbure.
La seconde partie étudie les notes de Newton à partir de l’été 65 : l’ambition de dépasser ses maîtres le conduit à imaginer une mathématique inédite donnant une présentation unitaire des résultats jusque-là obtenus ; ces tentatives d’unification comportent la recherche des liens entre les algorithmes des normales et des quadratures puis l’introduction de l’algorithme du mouvement ; en annexe, Marco Panza reconstruit des tables de quadratures établies par Newton durant l’été et l’automne 65.