L’Ouvert. N° 34. p. 16-24. Périodes : mes lunaisons mathématiques.
English Title : Periods (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Perioden. (ZDM/Mathdi)
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Auteur : Miguet Anne
Résumé
L’auteur a étudié avec des élèves de troisième les périodes des fractions décimales. ll décrit ici ce qu’ils ont fait en deux leçons au cours desquelles certaines correspondances ont été obtenues d’observations arithmétiques, à savoir que deux fractions k/g et k/g×10sup(n) ont les mêmes périodes, et que le développement en fractions décimales d’une fraction k/g a une période qui a au plus (g-1) chiffres. Abstract The author examined with a 9th grade class the periods of decimal fractions. Here she describes what they did in a couple of the lessons, in the course of which certain conformities were derived from arithmetical observations, namely that two fractions k/g and k/g x 10 sup(n) have the same periods, and that the decimal fraction development of a fraction k/g has a period that is at the most (g-1)-digit. In the second part of the article – which no longer deals with the subject matter gone through in class – the author indicates three further properties of the period length p(g) of a fraction k/g with a non-divisor k and g: (1) All fractions k/g with fixed g have the same period length p(g); (2) p(g) divides phi(g) (phi is Euler’s function); (3) p(g ) divides g x p(g). In these cases it is always pre-supposed that neither a 2 nor a 5 is involved in the factor decomposition of g. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Die Autorin untersuchte mit einer 9. Klasse die Perioden von Dezimalbruechen. Sie beschreibt hier den Verlauf von ein paar Unterrichtsstunden, waehrend der aus rechnerischen Beobachtungen einige Gesetzmaessigkeiten abgeleitet wurden, naemlich dass zwei Brueche k/g und k/g x 10 sup(n) gleiche Perioden besitzen und dass die Dezimalbruchentwicklung eines Bruchs k/g eine hoechstens (g-1)-stellige Periode besitzt. Im zweiten – nicht mehr den Stoff des Unterrichts behandelnden Teil des Artikels zeigt die Autorin drei weitere Eigenschaften der Periodenlaenge p(g) eines Bruches k/g mit teilerfremden k und g: (a) Alle Brueche k/g mit festem g haben gleiche Periodenlaenge p(g); (2) p(g) teilt phi(g) (phi ist die Eulersche Funktion); (3) p(g ) teilt g x p(g ). Hierbei wird immer vorausgesetzt, dass in der Faktorenzerlegung von g weder 2 noch 5 auftritt. (ZDM/Mathdi)
Dans la seconde partie de l’article, qui ne traite plus de ce qui s’est passé en classe, l’auteur indique trois propriétés supplémentaires de la longueur p(g) de la période d ‘une fraction k/g avec k et g non diviseurs l’un de l’autre :
1) Toutes les fractions k/g avec g fixé ont la même longueur de période p(g) ;
2) p(g) divise phi(g) (phi est la fonction d’Euler) ;
3) p(g) divise g × p(g).
Dans tous ces cas, on suppose que ni 2 ni 5 n’apparaissent dans la décomposition en facteurs premiers de g.
Notes
Article de L’Ouvert n°34.
L’Ouvert est le journal de la Régionale de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) d’Alsace et de l’IREM de Strasbourg. Lien entre l’enseignement secondaire des Mathématiques et l’Université, L’Ouvert propose à ses lecteurs : des articles sur les recherches récentes ; des textes sur l’histoire des mathématiques ; des synthèses sur les questions didactiques ; des comptes rendus d’activités et d’expérimentations avec les élèves ; des problèmes pour stimuler le plaisir de chercher ; des informations sur l’enseignement des mathématiques en Europe ; des nouvelles des groupes de l’IREM et le point sur leurs recherches.
L’Ouvert a cessé de paraître en 2010 avec le n° 118. Tous les articles de L’Ouvert sont disponibles sur le site de l’IREM de Strasbourg.
Données de publication
Éditeur IREM de Strasbourg Strasbourg , 1984 Format A4, p. 16-24
ISSN 0290-0068
Public visé enseignant
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
Classification