Afin de répondre à la question « Comment mesurer la vitesse d’évolution d’une variable par rapport à une autre ? », les auteurs proposent un parcours d’étude et de recherche composé de quatre activités :
– La première activité, Vit_Max, reprend l’activité « vitesse instantanée » du PER sur le nombre dérivé en simplifiant la fonction ce qui rend les calculs accessibles aux élèves. Un prolongement permet d’avoir l’intuition du lien entre le signe de f’ et les variations de f.
– L’activité « Tangente et vitesse » fait apparaître le lien entre le signe du nombre dérivé et les variations de la fonction.
– L’activité « sens de variation et signe de f'(a) » met l’accent sur ce lien.
– L’activité « Forme des courbes de degré 2 et de degré 3 » montre une exploitation intéressante de ce lien.

Repérer la vitesse maximale conduit à s’intéresser à f’ en tant que fonction. Trouver le lien entre le signe de f’ et les variations de f ouvre les capacités d’étude des variations de fonctions et permet de déterminer les valeurs qui donneront un bénéfice maximal ou un coût minimal. Ce lien permet aussi de trouver les 6 allures des courbes de fonctions polynômes de degré 3 à partir de celles du trinôme et de leur position par rapport à l’axe des abscisses.