L’auteur prend prétexte, suite à une demande du 13 8 2018 (de références sur les fonctions elliptiques, et thêta de Jacobi) d’un collègue, sur un forum de mathématiciens, d’un problème de mécanique pendulaire de 1961 où intervenait une telle intégrale pour décrire le mouvement d’un cube lié par un sommet, pour analyser cette fameuse intégrale et ceci avec des références nombreuses (« voir sitographie » : bibliographie et liens internet). Une intégrale pseudo elliptique est une intégrale d’une fonction rationnelle en x et en un radical d’un polynôme du quatrième ou du troisième degré, qui peut s’exprimer au moyen de fonctions élémentaires (Log et Arctan), contrairement au cas général où les fonctions elliptiques interviennent. L’auteur montre, dans cet article de 11 pages (les calculs infirmant la pseudo ellipticité de l’intégrale « pseudo elliptique » de GREENHILL sont pages 3-5) et prouve qu’en fait elle ne l’est pas en donnant d’autres liens de justification. Annulant ainsi une certitude (non étayée par une formule explicite) datant de 125 ans (Greenhill et pages 240-242 du livre de Mécanique d’Appell). Il donne aussi de nombreux exemples de véritables intégrales pseudo elliptiques.