Pour tout couple fixé (p;q) d’entiers naturels non nuls, la série « congruo-harmonique alternée » de paramètres (p;q), de terme général (-1)^k/(pk+q), a une très lente convergence infra-linéaire. Cet article élabore, sur la base d’un développement en fraction continue généralisée du reste de cette série, une famille d’algorithmes qui accélérèrent sa convergence. Les vitesses de convergence des suites engendrées par ces algorithmes sont alors comparées. Une analyse asymptotique précise révèle la possibilité d’accélérer la convergence soit de manière infra-linéaire (mais avec une diversité infinie de vitesses possibles), soit de manière linéaire (avec un taux de convergence qui apparaît universel relativement à (p;q)), soit de manière super-linéaire, au moyen d’extractions de suites. Plusieurs problèmes ouverts sont aussi discutés concernant la « performance » relative des algorithmes ainsi construits et l’éventuelle optimalité de certains d’entre eux.