Dans cet article, le lecteur et la lectrice auront plaisir à lire la démarche d’Euclide développée dans son livre VII des Eléments, basée entièrement sur les propriétés de la division et de l’algorithme d’Euclide. Nul doute qu’ils ou qu’elles pourront s’en inspirer pour proposer de beaux exercices de logique ou d’arithmétique aux élèves !

STRUCTURE DE L’ARTICLE :
1. – L’irrationalité de racine carrée de n, conséquence immédiate du lemme de Gauss
I. 1 – Racine carrée de 2 est irrationnel : la crise
I. 2 – Racine carrée de n est entier ou irrationnel
I. 3 – Place du lemme de Gauss dans les Éléments
2. – Les débuts de l’arithmétique dans les Éléments d’Euclide
2. 1 – La division euclidienne
2. 2 – La progression dans l’arithmétique d’Euclide jusqu’au lemme de Gauss
2. 3 – Couples d’entiers en « même rapport »
2. 4 – Le théorème d’Euclide
a) Les propositions d’Euclide
b) L’énoncé du théorème d’Euclide
2. 5 – Équivalence entre le théorème d’Euclide et le lemme de Gauss
2.6 -Le lemme de Gauss dans les éléments
Conclusion
Bibliographie
Annexe 1 : Démonstration par Euclide de l’incommensurabilité entre le côté d’un carré et sa diagonale, inspirée par l’argument d’Aristote
Annexe 2 : Extrait du Théétète de Platon