Dans ce chapitre, les autrices exposent le problème géométrique du partage d’un segment en extrême et moyenne raison, que l’on trouve notamment dans les Éléments d’Euclide résolu par la méthode dite des aires. Ensuite, elles proposent une exploitation de ce problème en classe de seconde, abordé à la manière de Descartes. La méthode cartésienne est donc décrite et replacée dans le contexte de l’arithmétisation des lignes.
Les différentes expérimentations en classe sont exposées avec des variantes ainsi que des productions d’élèves.
Les activités visent à faire travailler le calcul algébrique et la résolution d’équations, elles sont également l’occasion d’un apprentissage du raisonnement et de la démonstration. Pour cela les activités proposées s’appuient sur l’ouvrage de Claude Rabuel – commentateur de Descartes – dont l’accès est plus aisé aux élèves.