Ce chapitre s’intéresse à la comparaison d’un nombre à son carré ou à son cube. Ce problème intervient dans le programme de la classe de seconde générale, puisqu’un attendu de ce programme est l’étude de la position relative des courbes des fonctions identité, « carré » et « cube » sur R^+. L’histoire inspire aux auteurs différentes approches démonstratives du problème. Ils ont ainsi créé plusieurs activités pour leur classe en se basant sur des méthodes ou des conceptions variées menant à la comparaison d’un nombre à son carré et à son cube :
– la première sur la « méthode des aires » euclidienne,
– la seconde sur l’arithmétisation des lignes de la Géométrie de Descartes,
– la troisième sur la suite des puissances de l’inconnue à la façon d’al-Khayyam,
– la quatrième, plus « moderne », sur des propriétés purement algébriques d’études de signes.

Les expérimentations en classe, illustrées par des productions d’élèves, permettent de comprendre comment ces activités s’intègrent parfaitement à la progression annuelle. Par leur diversité, elles permettent de participer de l’apprentissage du raisonnement et de la démonstration, tout en donnant une dimension historique aux contenus enseignés.