Le problème « Bordures » consiste à trouver un quadrillage rectangulaire dont le nombre de carrés du « bord » est égal au nombre de carrés de « l’intérieur ».
Son intérêt réside dans plusieurs facteurs. Tout d’abord, il n’est absolument pas possible de savoir a priori si, oui on non, il existe une solution, ce qui fait que les ingrédients essentiels d’une « vraie recherche » sont réunis. Ensuite il permet de faire des mathématiques à plusieurs niveaux, de 5e année d’école primaire aux degrés 9, voire 10 de l’école secondaire, du conflit cognitif entre aire et périmètre à l’étude de fonctions rationnelles élémentaires.
Après ces considérations, l’article présente la manière dont les élèves peuvent résoudre le problème, en fonction de l’âge et des instruments mathématiques dont ils disposent : essais successifs de comptage de carrés sur des dessins, organisation systématique en laissant une des dimensions constante et en faisant varier l’autre, découverte d’une première solution et questions sur son unicité, puis passage à la fonction rationnelle.