Ce livre raconte la révolution mathématique du XVIIe siècle durant lequel se sont construites à la fois de nouvelles mathématiques et une réalité du monde régie par des lois mathématiques. Ce nouveau statut d’emprise sur la réalité appelle une transformation des méthodes, des objets et du sens. Un des traits les plus novateurs de cette révolution est l’invention du « courbe ».
Après un préambule où l’auteur plante le décor, sept chapitres analysent l’histoire :
I. Inventions, techniques et méthodes : la volonté d’inventer et de progresser ; la méthode comme art d’inventer (Bacon, Descartes et ses règles pour la direction de l’esprit).
II. La critique des anciens : Bacon : contre le « savoir spectacle » des anciens ; Descartes : contre les objets et les formes des savoirs anciens ; Galilée : contre les arguments d’autorité et les vieux schémas de pensée.
III. De nouvelles mathématiques : la recherche galiléenne de la trajectoire des projectiles ; la recherche cartésienne des courbes optiques (recherche, résolution et généralisation du problème de l’anaclastique).
IV. Méthodes d’invention des tangentes et conceptions du courbe : courbes et tangentes chez les anciens et leur lecture au XVIIe ; les touchantes de Roberval ; les cercles tangents de Descartes ; les tangentes de Fermat ; la querelle sur la méthode du maximum ; ressemblances et différences des méthodes de tracé, analyse des controverses.
V. Les problèmes inverses de tangente, de la notion au concept de courbe : les courbes géométriques de Descartes ; la nouvelle méthode de Leibniz.
VI. De la nature des courbes en général : longitudes et pendule ; les développées chez Huygens ; courbes chez Leibniz.
VII. Démonstration et méthodes d’invention : l’évidence comme détermination cartésienne de la vérité ; ordre de la géométrie : ordre d’invention et discours de l’évidence. Des figures souvent issues des originales facilitent l’approche des textes.