connexité – topologie –

ANALYSE

La notion de connexité formalise l’idée intuitive qu’un ensemble est « d’un seul morceau ».

L’espace topologique (X,O) est connexe s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes.
1. Si X est réunion de deux ouverts disjoints alors l’un de ces deux ouverts est vide et l’autre égale à X.
2. Si X est réunion de deux fermés disjoints alors l’un de ces deux fermés est vide et l’autre égale à X.
3. Si l’on considère {0,1} muni de la topologie discrète et f : X → {0,1} une application continue , alors f est constante sur X.
4. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés de X sont X lui-même et l’ensemble vide.

Exemple d’espaces connexes : les intervalles de R pour la topologie induite