espace affine

variété linéaire affine
variété affine

ALGEBRE

Un espace affine peut être défini de la façon suivante à partir :

1) D’un corps ( K,+,x).
2) D’un espace vectoriel (V, +, .) dont les vecteurs sont notés par des minuscules.
3) D’ un ensemble E non vide dont les éléments sont appelés points et notés par des majuscules.
L’espace affine sur le corps K, associé à l’espace vectoriel est alors défini comme le quadruplet(E,K,V, φ), où φ est une application de E² dans E² qui satisfait aux deux propriétés suivantes, appelées axiomes des espaces affines :

(A1)
∀ (A,B, C) ∈ E³, φ(A,B) + φ(B,C) = φ(A,C) ;

(A2)
Pour tout point et tout vecteur, il existe un unique bipoint dont l’origine est le point considéré et dont l’image par est le vecteur considéré. En d’autres termes :
⇔ A € E, ∀ v, ∃! B ∈ E / φ(A,B) = vecteur v
Cette propriété est souvent appelée Relation de Chasles .
La dimension d’un espace affine est la dimension de l’espace vectoriel qui lui est associé.
L’espace vectoriel est appelé direction de l’espace affine.