inégalité de Jensen

ANALYSE

L’inégalité de Jensen concerne les fonctions convexes. Elle est due au mathématicien danois Johan Jensen (1859-1925) qui la démontra en 1906.

Forme discrète : Si f est convexe sur I et si x1, …, xp sont des points de I et a1, …, ap des réels positifs ou nuls tels que :
a1 + … + ap = 1 ,
alors :
f( a1x1 + … + apxp ) ≤ a1 f(x1) +… + ap f(xp).
On en déduit des résultats en analyse.

Forme intégrale : soient a et b deux éléments de R∪{∝} tels que a < b ; soit φ une fonction continue de [0, 1] dans ]a, b[ ; soit f une fonction convexe de ]a, b[ à valeurs réelles. Alors :
f (∫0¹ φ(x) dx ) ≤ ∫0¹ f ° φ (x) dx
Cette inégalité est utilisée en théorie de la mesure, en probabilités, en mécanique quantique.

.