inégalité de Cauchy-Schwarz

inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz
inégalité de Schwarz

ANALYSE

L’inégalité de Cauchy-Schwarz est aussi appelée inégalité de Schwarz, ou encore inégalité de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz. Elle se rencontre dans de nombreux domaines : algèbre linéaire , analyse avec les séries, intégration.
Elle intervient dans le cas d’un espace vectoriel sur le corps des nombres réels ou complexes muni d’un produit scalaire. Dans le cas complexe, le produit scalaire désigne une forme hermitienne définie positive. Son contexte général est donc celui d’un espace préhilbertien.
Soit H un espace préhilbertien. Alors :
∀ (x, y) ∈ H², Ι x . y Ι ≤ ΙΙ x ΙΙ . ΙΙ y ΙΙ
L’égalité est réalisée si et seulement si x et y sont liés.
Cette inégalité a de nombreuses applications.
Dans le cas de l’espace euclidien Rⁿ : Soient (u1, u2, …, un) et (v1, v2, …, vn, ) des réels (ou des complexes). Alors :
∑k=1ⁿ Ι uk vk Ι ≤ (∑k=1ⁿ ΙukΙ ²)^1/2 . (∑k=1ⁿ ΙvkΙ ²)^1/2.
Dans le cas de fonctions de carré intégrable : Soient f, g ∈ C([0, 1], R). Alors :
∫0¹ Ι fg Ι ≤ (∫0¹ Ι f Ι²)^1/2 . (∫0¹ Ι g Ι²)^1/2.
Cette inégalité doit son nom à Viktor Bunyakovskii , Augustin Cauchy et Hermann Schwarz .