Depuis le dessin inachevé de Cardan au seizième siècle aux images de synthèse de Mandelbrot, le chemin de l’interprétation géométrique des imaginaires n’a pas été sans embûches. Il s’agit ici d’une partie de ce chemin jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle selon trois interprétations : les aires négatives, l’orthogonalité et les moyennes proportionnelles et les transformations.

Depuis Euclide jusqu’à Cardan la représentation géométrique est restée fondamentale pour la résolution des problèmes. Cardan en franchissant la barrière imposée par la construction géométrique des solutions « 5p: Rm: 15, et 5m: Rm: 15 » a ouvert une brèche. A sa suite, Bombelli et tous les calculateurs ont utilisé les nombres complexes avec de plus en plus d’assurance. Restait cependant le problème de la rupture avec la géométrie grecque : quelle représentation réelle des imaginaires ? La route de ce côté a été longue et chaotique avant de devenir sûre, d’Euclide à l’appareil du capitaine Lille, cet exposé propose d’en retracer quelques étapes et ornières.