Dans cet article sont présentés les principes de base du « débat scientifique en cours de mathématiques » : comment, sous quelles conditions et pourquoi transformer le cours de mathématiques en mini-communauté scientifique dans laquelle, les élèves, les étudiants deviennent auteurs de conjectures et doivent exercer leur responsabilité scientifique pour analyser la pertinence et la validité des énoncés et des preuves qui sont mis en débat.

Le « débat scientifique » repose sur deux principes ou postulats :
– un postulat épistémo-éthique : on ne peut comprendre les mathématiques en les apprenant seulement; pour les connaître il faut « les faire » !
Pour cela l’élève, l’étudiant doit devenir lui-même auteur d’énoncés et de preuves qu’il n’a pas appris et au sujet desquels l’institution d’enseignement ne lui dit pas a priori s’ils sont pertinents et vrais ou non.
Ce travail de créativité, d’affrontement du doute et de l’incertitude n’est pas conçu pour l’élite des plus forts et des futurs chercheurs, il est organisé comme un moyen de transformer la pensée de tout un chacun, de modifier son regard sur le monde et sur lui-même, afin que tous puissent bénéficier par l’école de l’héritage culturel que l’humanité s’est forgée peu à peu en abordant les problèmes complexes au travers du filtre des démarches scientifiques et mathématiques.

– un postulat cognitif : se référant aux travaux de Bachelard et de Piaget, on part du principe que presque tout ce qui est important, profond et complexe va en général contre le « bon sens », les habitudes, les préjugés, et que, dans ces conditions, apprendre véritablement n’est pas vouloir parcourir linéairement le cours du long fleuve tranquille d’un savoir totalement organisé, c’est accepter au contraire de passer par des périodes de désordre, d’atermoiements, de contradictions, voire des périodes de régression, car tous ces conflits « cognitifs », s’ils sont organisés et gérés positivement, peuvent devenir la source d’une compréhension plus profonde et de dépassement des obstacles les plus résistants.

Dans cet article on essaye enfin de montrer en quoi l’enseignement de l’analyse nécessite plus que tout autre un débat scientifique contradictoire, car l’introduction de l’infini pour traiter du fini, l’introduction des éléments limites pour mieux manipuler les approchants, l’introduction des inégalités et des approximations pour obtenir des égalités et des résultats exacts est d’abord un problème d’intentionnalité : comment peut-on chercher à majorer, à minorer, à passer à la limite si on est persuadé que tout problème a une unique solution qu’il suffit de calculer en appliquant un algorithme fini ad hoc !