L’exposé part de quelques questions ou problèmes ouvrant des pistes de réflexion et d’expérimentation, autour de trois types de préoccupations :
– Il y a des formules concernant la mesure des grandeurs que les élèves connaissent depuis l’école primaire ou qui font parties des programmes de collège. Comment placer les élèves dans un questionnement mathématique sur ces formules développant une démarche de raisonnement et progressivement de validation de ces formules ?
– Comment amener les élèves à une conscience claire et précise de l’existence de nombres qui ne sont ni des entiers ni des fractions d’entiers, mais qui pourtant sont indispensables pour mesurer de façon exacte certaines grandeurs ?
– Comment familiariser les élèves avec des démarches spécifiques de raisonnement en analyse, c’est-à-dire qui mettent en oeuvre le continu et donc l’infini ?

L’auteur propose d’explorer quelques pistes que fournit l’histoire des mathématiques. La progression proposée se développe en trois étapes qui tentent de donner un début de réponse aux trois interrogations formulées ci-dessus :
1. Montrer sur des exemples simples, mais non triviaux, ce que peut être une démarche de raisonnement et de démonstration au collège.
2. Dégager de manière convaincante la nécessite d’introduire des nombres dits irrationnels.
3. Quelques exemples de démonstration introduisant au raisonnement de l’analyse.